Détection des exoplanètes

Principe :

Pour détecter des exo planètes, on peut utiliser la méthode du transit  (elle sera souvent complétée par des mesures avec la méthode des vitesses radiales pour s’assurer qu’il ne s’agit pas d’un dysfonctionnement du télescope spatial). Cette méthode consiste à tracer l’évolution de la luminosité de l’étoile au cours du temps et d’étudier sa courbe : si on observe une baisse périodique de la luminosité on peut penser que cette baisse est liée au passage d’une exo planète orbitant autour de l’étoile qui passe dans la ligne de visée.

Mesures :

Sur le logiciel d’analyse SalsaJ, on étudie une série de cliché d’une région céleste sur laquelle on peut voir plusieurs étoiles. On sait que l’une d’elle est HD 189733, étoile autour de laquelle orbite une exo planète. On ouvre les photos et on les « sépare » (menu « fenêtre »).

A première vue, les trois étoiles les plus lumineuses semblent avoir les mêmes variations d’intensité lumineuse : il est impossible de de statuer sur la présence d’une exo planète. On va donc devoir réaliser des mesures de luminosité (photométrie), les rentrer dans un tableur et étudier les courbes. On s’intéresse aux trois étoiles les plus lumineuses de la zone photographiée. On relève les intensités lumineuses et on  obtient les courbes suivantes :

Observation :

Seule la courbe de l’étoile 1 présente une baisse notable d’intensité lumineuse sur une longue période : à priori, l’exo planète orbite autour de l’étoile 1.

Pour vérifier cette hypothèse, on affiche toutes les courbes sur le même graphique. Comme l’intensité lumineuse n’est pas à la même échelle pour les trois étoiles, on calcule l’intensité moyenne et on soustrait pour chaque valeur afin d’obtenir l’intensité relative. On obtient la courbe suivante :

C’est sur la courbe verte (étoile 1) que l’on observe une baisse de luminosité : notre hypothèse est donc vérifiée, c’est bien autour de l’étoile 1 qu’orbite notre exo planète.

Interprétation :

On peut repérer sur la courbe des positions particulières de l’exo planète : lorsque la luminosité commence à diminuer, c’est que l’exo planète commence à cacher la lumière de l’étoile (position 1). Lorsque la courbe est au minimum, la totalité de l’exo planète est devant l’étoile (position 2). Enfin, lorsque l’intensité lumineuse augmente de nouveau, l’exo planète repasse derrière son étoile (position 3).

Code en python

on a fait la simulation du mouvement d'une étoile et une exoplanète autour d'un barycentre

(il nous reste à relier les résulats qu'on avait eu dans la partie physique à notre programme)

from tkinter import*
from math import*
 
fenetre = Tk()
fenetre.title("le mouvement d'une planète autour de son étoile")

def mouvement():
    global t
    t=t+0.2
    dessin.coords(etoile,(xc-rs)+R*sin(t*pi),(yc-rs)+R*cos(t*pi),(xc+rs)+R*sin(t*pi),(yc+rs)+R*cos(t*pi))

    dessin.create_oval((xc-rs)+R*sin(t*pi)+rs-0.01,(yc-rs)+R*cos(t*pi)+rs-0.01,(xc-rs)+R*sin(t*pi)+rs+0.01,(yc-rs)+R*cos(t*pi)+rs+0.01,fill='blue')
    dessin.coords(planete,(xc-rp)+R1*sin(t*0.25*pi),(yc-rp)+R1*cos(t*0.25*pi),(xc+rp)+R1*sin(t*0.25*pi),(yc+rp)+R1*cos(t*0.25*pi))
    dessin.create_oval((xc-rp)+R1*sin(t*0.25*pi)+rp-0.01,(yc-rp)+R1*cos(t*0.25*pi)+rp-0.01,(xc-rp)+R1*sin(t*0.25*pi)+rp+0.1,(yc-rp)+R1*cos(t*0.25*pi)+rp+0.1,fill='green')
    fenetre.after(200,mouvement)

global xs,ys,rs,xp,yp,rp,xc,yc,rc,R,t
t=0
#coordonnées du milieu de centre de masse
xc=500
yc=500
rc=5 #son rayon
#coordonées du centre de l'étoile
xs=455
ys=455
rs=50 #son rayon
#coordonnées de la planète
xp=300
yp=300
rp=20
# Rayon de la trajectoire de la planete autour de son étoile
R= sqrt((xs-xc)**2+(ys-yc)**2)
R1=sqrt((xp-xc)**2+(yp-yc)**2)
dessin = Canvas(fenetre, width=1000, height = 1000, bg="white", bd=8, relief="ridge")
dessin.pack()
centre=dessin.create_oval(xc-rc,yc-rc,xc+rc,yc+rc,fill="black")
etoile=dessin.create_oval(xs-rs,ys-rs,xs+rs,ys+rs,fill="yellow")
planete=dessin.create_oval(xp-rp,yp-rp,xp+rp,yp+rp,fill="red")
mouvement()

fenetre.mainloop()

Salsa J est un logiciel qui permet d'analyser et de traiter des images capturées par des télescopes professionnels. 

Ce logiciel met à notre disposition 11 spectres d'une étoile à différentes périodes.

Dans un premier temps, il s’agit d’observer le déplacement des raies spectrales au cours du temps. Pour cela dans Salsa J, ouvrir les 11 fichiers -> images -> piles -> transférer images dans piles -> Démarrer animation.

Par la suite, il s’agit de déterminer expérimentalement la vitesse radiale et la période T. Pour cela, on va étudier les 11 spectres que nous obtenons grâce à Salsa J.  Les raies spectrales que nous observons correspondent aux raies du sodium Na.

On obtient par exemple pour le spectre 1 :

On remarque dans ce spectre 2 raies très marqués et à l’aide de la souris on va mesurer la valeur de ces deux longueurs d’ondes. (On répète le même protocole pour les 10 autres spectres).

Les résultats que nous obtenons sont les suivants :

Sachant que Vrad =c * (( Δλ1/λ1)+ ( Δλ2/λ2))/2 avec  Δλ1= λ1- λ1(Na) ou Δλ2= λ2- λ2(Na).

λ1 (Na) et λ2(Na) sont les longueurs d’ondes du sodium mesurées sur Terre.

λ1 (Na)=5889,95 A       λ2(Na)=5895,924

Nous obtenons les résultats suivant :

 L’écart est de même signe pour les deux raies car c'est l'ensemble du spectre qui est décalé ( le décalage est le même sur tout le spectre ) sinon on ne pourrait plus parler d'effet Doppler.

Pour obtenir la période T,  grâce aux valeurs de Vrad obtenues et des dates t, on trace le graphe des vitesses radiales en fonction du temps et on détermine T.

T= 9.9 jours.

On obtient une fonction sinusoïdale caractéristique de la détection par la méthode des vitesses radiales ce qui confirme bien la présence d’une exoplanète. Pour  avoir le maximum de paramètres caractérisant le compagnon de l’étoile. On va modéliser le modèle  Vrad=V₀+W cos((2*Pi*t/T)+Phi).

W : Vitesse radiale maximale

T : Période

V₀ :

Phi : phase à l’origine

Et grâce au graphe précédemment tracé, on obtient :

V₀= 5.60 km/s

W= 21.7 km/s

Phi=0

(Nous devons tout de même confirmer avec notre professeur la justesse des valeurs obtenues et nous avons des questions concernant la définition de certains paramètres).

On trace avec ces paramètres le graphe v= f(t)

Pour finir, après avoir prouvé l’existence d’une exo planète on se propose de calculer la masse de cette planète en utilisant les paramètres précédemment et des  relations des lois de la mécanique.

                       T²/(D_EP^3)= 4*pi²/G*(m_p+M_e)                   LOI DE KEPLER

                       D_EP=  [(m_p+M_e)/m_p]*D_OE                      FORMULE DU BARYCENTRE

                       V_étoile = 2 *Pi * D_OE / T = w/sin(i)         ORBITE CIRCULAIRE

Avec m_p : masse de l’exo planète (kg)

M_e : masse de l’étoile  (kg)   (M_e=1.05*M_s)

M_s : masse du soleil (kg)

D_EP : distance entre l’étoile et la planète (m)

D_OE : distance entre le centre de masse et l’étoile (m)

D_OP : distance entre le centre de masse et la planète (m)

En posant sin(i) =1 et sachant que M_e>>m_p

                         m_p= W*T^(1/3)*M_e^(2/3)*(1/G*2*Pi)^(1/3)

Avant d'entamer notre projet , il nous faut definir les notions que nous allons developpé  : 

• Définitions d’une planète, exo planète. 

• Définition d’une étoile. 

• Différence entre une exo planète et une étoile 

• Définition de la vitesse radiale et méthode de détection d’une exo planète par l’intermédiaire des vitesses radiales .

• Effet Doppler-Fizeau au service de la détection d’une exo planète.
  

• Calcul de la masse d’une exo planète (courbe des vitesses en fonction du temps) .

• Méthode du transit .

* Le mouvement d'un objet par rapport à un observateur peut être décomposé en deux axes orthogonaux : radial et tangentiel. La vitesse radiale () ne donne donc pas la valeur du vecteur  vitesse de l'objet (), mais uniquement la composante de celui-ci sur la ligne de visée. La vitesse radiale est donc  où   est l'angle formé par la ligne de visée vers le mobile et la trajectoire de celui-ci. 

 

*Pour connaître les autres composantes, c'est-à-dire les composantes tangentielles à la ligne de visée verticalement et horizontalement, il faut en général observer le mouvement propre de l'objet, et connaître sa distance. Ces deux paramètres sont souvent difficiles à déterminer, en particulier le premier. 

*La vitesse radiale peut être mesurée de plusieurs manières. Dans une situation simple, l'observateur peut noter le temps de passage de la cible près de repères qui sont à des distances connues de sa propre position. L'onde revenant d'un objet possédant une vitesse radiale est sujette à l'effet Doppler, par conséquent la fréquence retournée () diminue si l'objet s'éloigne et augmente s'il se rapproche. En mesurant cette variation, , le système en tire la vitesse radiale : 

  (cte étant la vitesse de la lumière pour les ondes électromagnétiques et la vitesse du son pour les ondes sonores) 

 

* En astronomie, ce sont les objets célestes  qui émettent de la lumière. Selon leur composition chimique, cette lumière se décompose en raies à des longueurs d'onde très précises. C'est le décalage de la longueur d'onde d'une raie spectrale qui sera mesuré pour connaître la composante radiale. Avec comme longueur d'onde de la raie spectrale qui serait mesurée si l'objet était au repos et la longueur d'onde mesurée, la vitesse radiale vr s'écrit :

, 

où c est la vitesse de la lumiere .En pratique cette formule ne vaut que pour les basses vitesses, c'est-à-dire les vitesse significativement inférieures à la vitesse de la lumière. 

          -La détection par vitesse radiale consiste à utiliser l'effet Doppler-Fizeau. En effet, le mouvement de la planète autour de son étoile               va induire un léger mouvement de recul de celle-ci, qui est détectable par cet effet. On mesure alors les variations de vitesses                     radiales de l'étoile, et si ces variations sont périodiques, il y a de grandes chances pour que cela soit dû à une planète. Cette                         méthode favorise la détection de planète massive proche de l'étoile (les fameux Jupiter chauds), puisque dans ce cas, le                               mouvement induit sur l'étoile est maximal.   

 *Pour comprendre le principe de la méthode des vitesses radiales, prenons le cas le plus simple. Considérons donc un système formé d’une seule planète en orbite  circulaire autour de son étoile et vue par un observateur dans le plan de son orbite. C'est-à-dire que l’angle i que fait la normale au plan de l’orbite avec la ligne de visée vaut 90°. Les lois de la mécanique céleste impliquent que l’attraction gravitationnelle de la planète sur l’étoile lui impose un mouvement  de révolution autour du barycentre du système, le plus souvent à l’intérieur de l’étoile. 

*L’étoile va donc s’approcher puis s’éloigner de l’observateur avec une composante de vitesse radiale qui varie périodiquement. La lumière de l’étoile va alors subir un effet Doppler-Fizeau se traduisant par un décalage spectral passant périodiquement du bleu au rouge